向量代数，空间几何

空间直角坐标系

xyz坐标轴符合右手直角坐标系，三个正半轴称第一卦限，按逆时针排布依次为二三四，下方一对应五，逆时针依次是六七八。

两点间距离公式

$$|M\_1M\_2|=\sqrt{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2+(z\_2-z\_1)^2}$$

向量

向量是有方向有大小的量，向量的长度为模，模为1的向量称为单位向量，模为零称为零向量

向量都可以由基本单位向量表示

定比分点：设有向量 点在其上，使则点的坐标以此类推。

方向余弦

为向量方向上的单位向量

$$(\cos{a},\cos{b},\cos{c})=(\frac{x}{\overrightarrow{a}},\frac{y}{\overrightarrow{a}})$$

向量加减

通过平行四边形法则（三角形法则）相加，符合以下运算率：

1. 交换率
2. 结合律

向量乘法

与数乘

即在向量原有的方向上伸长倍数，符合交换律结合律，相互成倍数关系的向量相互平行。

点乘

一个向量在另一个向量上的投影乘该向量的模，可表示为，亦可表示为

符合：

1. 交换律
2. 结合律
3. 分配率

可求余弦\
于是可以通过坐标求两向量间夹角。

叉乘

叉积求出的是矢量，，其模为，垂直于原来的两个矢量，符合右手螺旋。

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ a\_x & a\_y & a\_z\\ b\_x & b\_y & b\_z \end{vmatrix}$$

叉乘得出的模也可以表示两向量张成的面积。

混合积

$$(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}= \begin{vmatrix} a\_x & a\_y & a\_z\\ b\_x & b\_y & b\_z \\ c\_x & c\_y & c\_z \end{vmatrix}$$

因为行列式性质，所以可以轮换位置。当混合积为零时，三向量共面。同理叉乘理，混合积可以表示三个向量张成的体积。

平面及其方程

点法式

$$\overrightarrow{n}=(A,B,C)\\ \overrightarrow{n}\cdots\overrightarrow{M\_0M}=0 \\ (A,B,C)\cdots(x-x\_0,y-y\_0,z-z\_0)=0$$

求法向量即取平面上线求叉积

平面一般方程

截距式

两面夹角

两面夹角的余弦值为两面法线夹角余弦的绝对值。

点到面距离

取平面上一点，与平面外点形成向量，再取法向量，求该向量在法向量上的投影长度。

空间直线

一般方程为两平面方程的相交。\
参数方程可以表示为

$$\begin{cases} x=x\_0+mt\\ y=y\_0+nt\\ z=z\_0+pt \end{cases}$$

直线对称式方程写为

$$\frac{x-x\_0}{m}=\frac{y-y\_0}{n}=\frac{z-z\_0}{p}$$

其中为方向，可由两平面法向量的叉乘得出，为直线上一点。

两直线夹角

即为两向量夹角

平面与直线夹角

为平面法向量与直线向量夹角的余角。

曲面以及方程

一个方程上点的集合会形成一个曲面。\
例如球面的方程\
球面一般方程式：

旋转曲面

旋转曲面一般通过平面曲线旋转得到，方法为将不被旋转的变量换成平面外变量和它本身的几何平均值。例如， 绕y旋转所得曲面为 \
单叶双曲：
双叶双曲：
抛物面：

柱面

在某一面上的线即可可表示柱面。

空间曲线一般方程

空间曲线看作两平面交线

$$\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$$

空间曲线参数方程

可以用参数式表示

$$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}$$

求曲线在某一面投影的方法为消去另一面的自变量。

二次曲面

即为伸缩过的旋转曲面，如椭球面，椭圆抛物线，椭圆圆锥面，单叶双曲面，双叶双曲面，双曲抛物面，其构造方式就是仅保留加减关系，自变量除其伸缩倍数。

多元函数

就是二元函数的拓展，性质基本一致

偏导数

，即对多元函数中的x求导。可以理解为对面上的一条线求导。

全微分

全微分等于函数中的每一个变量的偏微分只和，相当于切平面。

多元复合函数求导

用链式求导法则

全微分形式不变性

求全微分，无论中间变量还是自变量函数其形式不变。