高数第一次月考复习
向量代数，空间几何
空间直角坐标系
xyz坐标轴符合右手直角坐标系，三个正半轴称第一卦限，按逆时针排布依次为二三四，下方一对应五，逆时针依次是六七八。
两点间距离公式
$$
|M_1M_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
$$
向量
向量是有方向有大小的量，向量的长度为模，模为1的向量称为单位向量，模为零称为零向量$\overrightarrow{0}$
向量都可以由基本单位向量表示
定比分点：设有向量$\overrightarrow{AB}$ $C$点在其上，使$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{CB}$则点$C$的坐标$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}$以此类推。
方向余弦
$\overrightarrow{a}$为向量方向上的单位向量
$$
(\cos{a},\cos{b},\cos{c})=(\frac{x}{\overrightarrow{a}},\frac{y}{\overrightarrow{a}})
$$
向量加减
通过平行四边形法则（三角形法则）相加，符合以下运算率：
- 交换率$\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} =\overrightarrow{b} +\overrightarrow{a}$
- 结合律$(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} )$
向量乘法
与数乘
即在向量原有的方向上伸长倍数，符合交换律结合律，相互成倍数关系的向量相互平行。
点乘
一个向量在另一个向量上的投影乘该向量的模，可表示为$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$，亦可表示为$a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
符合：
- 交换律
- 结合律
- 分配率
可求余弦$\cos{(\widehat{c,d})}=\frac{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{d}|}$
于是可以通过坐标求两向量间夹角。
叉乘
叉积求出的是矢量，$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$，其模为$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\theta}$，垂直于原来的两个矢量，符合右手螺旋。
$$
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\
a_x & a_y & a_z\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
$$
叉乘得出的模也可以表示两向量张成的面积。
混合积
$$
(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z\
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}
$$
因为行列式性质，所以可以轮换位置。当混合积为零时，三向量共面。同理叉乘理，混合积可以表示三个向量张成的体积。
平面及其方程
点法式
$$
\overrightarrow{n}=(A,B,C)\
\overrightarrow{n}\cdots\overrightarrow{M_0M}=0 \
(A,B,C)\cdots(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0
$$
求法向量即取平面上线求叉积
平面一般方程
$Ax+By+Cz-(Ax_0+By_0+Cz_0)=0$
截距式
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
两面夹角
两面夹角的余弦值为两面法线夹角余弦的绝对值。
点到面距离
取平面上一点，与平面外点形成向量，再取法向量，求该向量在法向量上的投影长度。
空间直线
一般方程为两平面方程的相交。
参数方程可以表示为
$$
\begin{cases}
x=x_0+mt\
y=y_0+nt\
z=z_0+pt
\end{cases}
$$
直线对称式方程写为
$$
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
$$
其中$m,n,p$为方向，可由两平面法向量的叉乘得出，$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点。
两直线夹角
即为两向量夹角
平面与直线夹角
为平面法向量与直线向量夹角的余角。
曲面以及方程
一个方程$F(x,y,z)=0$上点的集合会形成一个曲面。
例如球面的方程$X^2+y^2+z^2=R^2$
球面一般方程式：$Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0$
旋转曲面
旋转曲面一般通过平面曲线旋转得到，方法为将不被旋转的变量换成平面外变量和它本身的几何平均值。例如，$f(x,y)=0$ 绕y旋转所得曲面为 $f(\pm\sqrt{x^2+z^2,y})=0$
单叶双曲：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$
双叶双曲：$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
抛物面：$y=x^2+z^2$
柱面
在某一面上的线即可可表示柱面。
空间曲线一般方程
空间曲线看作两平面交线
$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0\
G(x,y,z)=0
\end{cases}
$$
空间曲线参数方程
可以用参数式表示
$$
\begin{cases}
x=x(t)\
y=y(t)\
z=z(t)
\end{cases}
$$
求曲线在某一面投影的方法为消去另一面的自变量。
二次曲面
即为伸缩过的旋转曲面，如椭球面，椭圆抛物线，椭圆圆锥面，单叶双曲面，双叶双曲面，双曲抛物面，其构造方式就是仅保留加减关系，自变量除其伸缩倍数。
多元函数
就是二元函数的拓展，性质基本一致
偏导数
$\frac{\partial f}{\partial x}$，即对多元函数中的x求导。可以理解为对面上的一条线求导。
全微分
全微分等于函数中的每一个变量的偏微分只和，相当于切平面。
多元复合函数求导
用链式求导法则
全微分形式不变性
求全微分，无论中间变量还是自变量函数其形式不变。