简单高数积分

一些注意事项

1. 不定积分加自由变量$C$，注意分段函数的不同情况下自由变量关系
2. 定积分注意自变量换元时上下界的改变
3. 将换元后的结果换回原自变量
4. 注意分部积分的公式(书上给的记法根本就没想让我记住)
5. 基本方法：
   • 换元积分(凑微分)
   • 分部积分
   • 公式积分

三角函数

万能公式(正常用不到)

$$\tan \frac{x}{2}=t\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

华莱士公式

定积分形如 $\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \sin^n x dx$\mathrm{或}$\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \cos^n x dx$\mathrm{时}，\mathrm{根}\mathrm{据}n\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{负}\mathrm{性}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{华}\mathrm{莱}\mathrm{士}\mathrm{公}\mathrm{式}$$$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\frac{\pi }{2}& niseven\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& nisodd\end{array}\right\}$$$

乘积(分式)

拆开奇数次幂

• 倍角公式
• 换元
• 积化和差

换元积分

• 凑
• 三角代换
• 倒代换$\frac{1}{x}=t$
• 根式代换$\sqrt{ax+b}=t$

有理分式

真分式 $\int \frac{a{x}^{n-1}+b{x}^{n-2}\cdots }{c{x}^n+d{x}^{n-1}\cdots }dx$ ，可以化成 多个简单部分分式之和求简单部分分式

$$\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C$$

$$\int \frac{A}{(x-a{)}^k}=\frac{A}{1-k}(x-a{)}^{1-k}+C$$

$$\text{Missing end{aligned}}$$

(左边凑积分，化成，右边分子为常数)

$$\int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q{)}^k}$$

(左边凑积分，化成幂函数形式，右边分部积分递推)

分部积分

$\int udv=uv-\int vdu$，u选取顺序反对幂指三。

循环积分

将函数分部积分后出现原函数，将函数回代

$$I=\int f(x)dx=ag(x)+bI$$

当不出现原函数但是出现递推公式时可以用类似方法，如下

$$I_n=\int f(x)dx=ag(x)+b{I}_{n+1}+c{I}_n$$

将$I_n$的递推公式写出即可从$I_1$向前推。

定积分

一些性质

积分和的定义

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

• 奇函数关于上下界零对称的积分为零,偶函数为一半的范围内的两倍
• 积分上限函数$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$其值与$t$无关。${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=f(X)$
• 牛顿-莱布尼兹公式:$F(x)=\int f(x)dx{\int }_a^b=F(b)-F(a)$

反常积分

• 无穷限反常积分：形如${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$的积分，即在无穷区间上的积分， 若有定值则称收敛，无定值则称发散。
• 无界函数反常积分：$f(x)$在$a$点任意领域内无界,则$a$为瑕点，求值时拆成瑕点两 侧分别计算。
• 比较审敛：$F(x)$的极限存在定理，$f(x)\le g(x)$时比较获得极限（类似夹逼）
• 极限审敛：以${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^p}$为参照$g(x)$进行比较
• 绝对值定积分收敛称绝对收敛，绝对值定积分发散且原函数定积分收敛称条件收敛。

求图形面积体积

根本思想微元法

• 积分求与坐标轴围成的面积
• 相互加减求组合曲线围成的面积
• 自变量可以改变
• 极坐标扇形$\frac{1}{2}{\int }_a^{b}r(\theta {)}^{2}d\theta$
• 旋转体体积$\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$(由圆柱体推出，可选绕x或者y轴)
• 柱壳$2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$
• 截面$S(x)$，体积${\int }_a^{b}S(x)dx$
  弧长
• 直角坐标下$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$
• 参数方程下$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt$
• 极坐标下$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(\theta )+{\psi }^{\prime 2}(\theta )}d\theta$