简单高数积分
一些注意事项
- 不定积分加自由变量$C$，注意分段函数的不同情况下自由变量关系
- 定积分注意自变量换元时上下界的改变
- 将换元后的结果换回原自变量
- 注意分部积分的公式(书上给的记法根本就没想让我记住)
- 基本方法：
- 换元积分(凑微分)
- 分部积分
- 公式积分
三角函数
万能公式(正常用不到)
$$
\tan \frac{x}{2}=t \
\sin x = \frac{2t}{1+t^2} \
\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \
dx=\frac{2}{1+t^2} dt
$$
华莱士公式
定积分形如 $\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \sin^n x dx$ 或 $\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \cos^n x dx$ 时，根据n的正负性使用华莱士公式
$\begin{Bmatrix}
\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\frac{\pi }{2} & n is even \
\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2 }{3} & n is odd
\end{Bmatrix}$
乘积(分式)
拆开奇数次幂
- 倍角公式
- 换元
- 积化和差
换元积分
- 凑
- 三角代换
- 倒代换$\frac{1}{x}=t$
- 根式代换$\sqrt{ax+b}=t$
有理分式
真分式 $\int\frac{ax^{n-1}+bx^{n-2}\cdots}{cx^n+dx^{n-1}\cdots}dx$ ，可以化成 多个简单部分分式之和求简单部分分式
$$ \int \frac{A}{x-a} dx = A \ln \lvert x-a \rvert + C$$
$$ \int \frac{A}{(x-a)^k} = \frac{A}{1-k}(x-a)^{1-k} + C$$
$$\begin{aligned} \int \frac{Ax+B}{x^2+px+q} &= \int \frac{A(x+\frac{p}{2})+B-\frac{Ap}{2}}{(x+\frac{p}{2})^2+(q-\frac{p^2}{4})} dx \ &=\frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{D}{a}\arctan\frac{2x+p}{2a} + C \\end{aligned}$$
(左边凑积分，化成，右边分子为常数)
$$
\int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}
$$
(左边凑积分，化成幂函数形式，右边分部积分递推)
分部积分
$\int udv=uv-\int vdu$，u选取顺序反对幂指三。
循环积分
将函数分部积分后出现原函数，将函数回代
$$
I= \int f(x) dx =ag(x)+bI
$$
当不出现原函数但是出现递推公式时可以用类似方法，如下
$$
I_n=\int f(x)dx=ag(x)+bI_{n+1}+cI_n
$$
将$I_n$的递推公式写出即可从$I_1$向前推。
定积分
一些性质
积分和的定义
$$
\int_{a}^b f(x)dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum \limits^n_{i=1} f(\xi_i)\Delta{x_i}
$$
- 奇函数关于上下界零对称的积分为零,偶函数为一半的范围内的两倍
- 积分上限函数$\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt$其值与$t$无关。$\Phi’(x)=f(X)$
- 牛顿-莱布尼兹公式:$F(x)=\int f(x)dx \ \int _a^b=F(b)-F(a)$
反常积分
- 无穷限反常积分：形如$\int^{+\infty}_a f(x)dx$的积分，即在无穷区间上的积分， 若有定值则称收敛，无定值则称发散。
- 无界函数反常积分：$f(x)$在$a$点任意领域内无界,则$a$为瑕点，求值时拆成瑕点两 侧分别计算。
- 比较审敛：$F(x)$的极限存在定理，$f(x)\leq g(x)$时比较获得极限（类似夹逼）
- 极限审敛：以$\int^{+ \infty }_a\frac{dx}{x^p}$为参照$g(x)$进行比较
- 绝对值定积分收敛称绝对收敛，绝对值定积分发散且原函数定积分收敛称条件收敛。
求图形面积体积
根本思想微元法
- 积分求与坐标轴围成的面积
- 相互加减求组合曲线围成的面积
- 自变量可以改变
- 极坐标扇形$\frac{1}{2}\int^b_a r(\theta)^2d\theta$
- 旋转体体积$\pi\int^b_a f(x)^2dx$(由圆柱体推出，可选绕x或者y轴)
- 柱壳$2\pi\int^b_axf(x)dx$
- 截面$S(x)$，体积$\int^b_aS(x)dx$
弧长 - 直角坐标下$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+y’^2}$
- 参数方程下$s=\int^\beta_\alpha\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt$
- 极坐标下$s=\int^\beta_\alpha\sqrt{\varphi’^2(\theta)+\psi’^2(\theta)}d\theta$