一些注意事项

1. 不定积分加自由变量，注意分段函数的不同情况下自由变量关系
2. 定积分注意自变量换元时上下界的改变
3. 将换元后的结果换回原自变量
4. 注意分部积分的公式(书上给的记法根本就没想让我记住)
5. 基本方法：
   • 换元积分(凑微分)
   • 分部积分
   • 公式积分

三角函数

万能公式(正常用不到)

$$\tan \frac{x}{2}=t \\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ dx=\frac{2}{1+t^2} dt$$

华莱士公式

定积分形如 $\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \sin^n x dx\int^{\frac{\pi}{2}}{0} \cos^n x dx$

乘积(分式)

拆开奇数次幂

• 倍角公式
• 换元
• 积化和差

换元积分

• 凑
• 三角代换
• 倒代换
• 根式代换

有理分式

真分式 ，可以化成 多个简单部分分式之和求简单部分分式

$$\int \frac{A}{x-a} dx = A \ln \lvert x-a \rvert + C$$ $$\int \frac{A}{(x-a)^k} = \frac{A}{1-k}(x-a)^{1-k} + C$$ $$\begin{aligned} \int \frac{Ax+B}{x^2+px+q} &= \int \frac{A(x+\frac{p}{2})+B-\frac{Ap}{2}}{(x+\frac{p}{2})^2+(q-\frac{p^2}{4})} dx \ &=\frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{D}{a}\arctan\frac{2x+p}{2a} + C \\\end{aligned}$$

(左边凑积分，化成，右边分子为常数)

$$\int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}$$

(左边凑积分，化成幂函数形式，右边分部积分递推)

分部积分

，u选取顺序反对幂指三。

循环积分

将函数分部积分后出现原函数，将函数回代

$$I= \int f(x) dx =ag(x)+bI$$

当不出现原函数但是出现递推公式时可以用类似方法，如下

$$I\_n=\int f(x)dx=ag(x)+bI\_{n+1}+cI\_n$$

将的递推公式写出即可从向前推。

定积分

一些性质

积分和的定义

$$\int\_{a}^b f(x)dx = \lim\_{\lambda \rightarrow 0}\sum \limits^n\_{i=1} f(\xi\_i)\Delta{x\_i}$$

• 奇函数关于上下界零对称的积分为零,偶函数为一半的范围内的两倍
• 积分上限函数其值与无关。
• 牛顿-莱布尼兹公式:

反常积分

• 无穷限反常积分：形如的积分，即在无穷区间上的积分， 若有定值则称收敛，无定值则称发散。
• 无界函数反常积分：在点任意领域内无界,则为瑕点，求值时拆成瑕点两 侧分别计算。
• 比较审敛：的极限存在定理，时比较获得极限（类似夹逼）
• 极限审敛：以为参照进行比较
• 绝对值定积分收敛称绝对收敛，绝对值定积分发散且原函数定积分收敛称条件收敛。

求图形面积体积

根本思想微元法

• 积分求与坐标轴围成的面积
• 相互加减求组合曲线围成的面积
• 自变量可以改变
• 极坐标扇形
• 旋转体体积(由圆柱体推出，可选绕x或者y轴)
• 柱壳
• 截面，体积
  弧长
• 直角坐标下
• 参数方程下
• 极坐标下