基本线性代数
矩阵
- 三种关系
- 相似:特征值相同$\sim$
- 合同:矩阵政府惯性系数相同$\simeq$ 合同判断条件$C^TAC=B$
- 等价:矩阵秩相等$\cong$
形如 $\begin{pmatrix}a_{11} && a_{12} \a_{21} && a_{22} \end{pmatrix}$ 是一种数表，可以用来表示都是实数则为实矩阵，有复数则称复矩阵，行列数相同的则为同型矩阵.
运算方式包括:
- 矩阵加减
- 矩阵相乘（左横乘右竖）
- 结合律
- 矩阵数乘
- 作为数乘的扩展
- 初等变换（同矩阵乘法）
- 行交换
- 列交换
- 行倍乘
- 列倍乘
- 行相加
- 列相加
特殊的矩阵形式包括
- 方阵
- 对角阵
- 单位矩阵
- 列矩阵行矩阵
- 上三角下三角阵
秩:矩阵中最高阶非零子式的阶数确定矩阵的秩，$R(A)=0$则称$A$为满秩矩阵, 否则为降秩矩阵.
求法:通过有限次矩阵矩阵的初等变换前后矩阵的秩不变,即等价.
代数余子式
矩阵分块
可以把矩阵内部分块,使矩阵成为”元素是矩阵的矩阵”,必须要是分块方式相同的矩阵才能进行运算.运算过程中倾向于把矩阵分块成对角阵或者行矩阵列矩阵.
矩阵和线性变换
可将行列式乘法看线性变换方式的复合.
或多元多次方程中$A(x_1,x_2\cdots)^T=(y_1,y_2,\cdots)^T$的A即为$X$到$Y$的线性变换系数矩阵
线性方程组
方程可表示为$Ax=b$的形式,用增广矩阵可表示为$\bar{A}=(A|b)$.用初等变换的方式将$(A|b)$转化为$(E|c)$其中c为列矩阵,每一行元素对应一个解.
方阵行列式
记作$|A|$,行列式的值等于矩阵中的列或行向量张成的面积.
一些性质
- $|A|=|A|$
- $|kA|=k^n|A|$
- $|AB|=|A||B|$
逆矩阵
$AB=BA=E$则称A和B互为逆矩阵(非奇异)
一个矩阵的逆矩阵是唯一的
矩阵可逆判断:
- 行列式值不为零
- 满秩
- 存在逆矩阵
对角阵的逆矩阵为对角线上每个元素取倒数
一些性质:
- $A,B,AB$都可逆,则$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
- $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
伴随矩阵
在$|A|\neq 0$的前提下
用代数余子式排列如下
$$
A^*=\begin{pmatrix}
A_{11} && A_{21} && A_{31} && \cdots && A_{n1} \
A_{12} && A_{22} && A_{32} && \cdots && A_{n2} \
A_{13} && A_{21} && A_{33} && \cdots && A_{n3} \
\vdots && \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \
A_{1n} && A_{2n} && A_{3n} && \cdots && A_{nn} \
\end{pmatrix}
$$
可求得 $AA^=|A|E$ 可推得 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$ 以此求逆矩阵
向量，方程组的解
列向量,行向量,支持加减、数乘
向量组
线性组合
由一个向量组$A$的每n项的$k_n$倍的和为线性组合
- $\beta=k\alpha$则称成比例
- 零向量是任意向量组的线性组合
- 向量组中的没一个元素都可以用向量组线性组合表示
$\beta=k\alpha$ 有解则 $\beta$ 可被 $\alpha$ 线性表示,且表示方法就是方程解.
若两个向量可以相互线性表示对方的每一个向量,则这两个向量等价.
线性相关
若向量组可以用一组不全为零的数线性表示零向量,则称向量组线性相关(是否在同一空间当中)
$$
k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_na_n=\mathbf{0}
$$
- 只含一个元素时,其为零则线性相关
- 只含两个元素时,成比例则线性相关
- 含有零向量时一定线性相关
- n个n维的单位向量组不相关
求线性相关即求解方程$Ax=\mathbf{0}$
向量组的秩
向量组中最大线性无关组的元素个数(求其矩阵的秩)
向量组$A$能由$B$表示,$R(A)\leq R(B)$
$max{R(A),R(B)} \leq R(A+B)\leq min{R(A),R(B)}$
向量空间
由向量组作为坐标系能表示一个空间$V$,也称$V$对线性运算是封闭的,最大线性无关组个数即为空间的维数
若存在两个空间$V$下的向量组$A,B$,两个坐标转换$B=AP$则称$P$为过渡矩阵,当两个分 别被$A$和$B$坐标以相同方式($P$)进行转换时称为坐标转换
向量内积
$A=(a_1,a_2,\cdots) B=(b_1,b_2,\cdots)$内积$[A,B]=a_1b_1+a_2b_2+\cdots$(即为两向量的点乘.)
$|A|=\sqrt{[A,A]}$其中$|A|$为向量的长度
$\theta=\arccos{\frac{[a,b]}{|a||b|}}$为两向量的夹角
正交基
坐标系中直角坐标系.如 $[a,b]=0$ 则称 $a,b$ 互为正交向量.
如果向量组中每个向量都是单位向量则称他们规范正交向量.
施密特正交化法
正交化(用随机向量表示垂直向量)
$$
\alpha_1,\alpha_2,\cdots \
\beta_1=\alpha_1 \
\beta_2=\alpha_2-\frac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1 \
\beta_3=\alpha_3-\frac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1-\frac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}\beta_2\
\cdots
$$
于是得到一组正交基
单位化,即每一项除以其长度.
正交矩阵
$AA^T=A^TA=E$,即$A=A^{-1}$,充要条件为列向量都是单位向量
- $A^T,A^*,A^K$都是正交矩阵
- 两正交矩阵相乘仍然是正交矩阵
- $|A|=1$或$|A|=-1$
线性方程组解
齐次
$Ax=\mathbf{0}$,设秩为r,自由变量的个数则为n-r,则解系中最大线性无关组的个数为n-r.为$k_1\xi_1+k_2\xi_2\cdots$
非齐次
$Ax=b$,先求$Ax=0$的解(通解),再求特解,即为自由变量全为零时$Ax=b$的解,相加即为方程组解.
特征值，对角化
特征向量:在线性变换中坐标系中方向没有改变的向量
$Ax=\lambda x$其中x为特征,$\lambda$为特征值
$|A- \lambda E|x=0$其中x
计算高次幂
$$
A=P\Lambda P^{-1} \
A^n=(P\Lambda P^{-1})^n \
A^n=P \Lambda^n P^{-1}
$$
方阵相似对角化
原方阵若与对角阵相似则称方阵可以相似对角化
可通过原方阵乘由相似向量为列向量组成的矩阵来转换$P^{-1}AP=\Lambda \$
实对称，二次型
实对称
Q用原特征向量的正交单位化矩阵
$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=diag{(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)}$
- 不同特征值对应的特征向量必正交
- 可对角化
二次型
标准形:对角阵
规范形:对角仅有正负1
正惯性系数:初等变换为对角阵后对角上正负数
用矩阵表示二元二次多项式(用类似空间中的坐标的方式,表示为实对称矩阵),对二次型做的变换是合同变换($Q^TAQ$)
当$Q^{-1}=Q^T$时$Q$为正交矩阵
- 可以用正交化的特征向量矩阵作为$Q$从而计算标准二次型.
- 配方法
- 初等变换
正定二次型
惯性定理:实对称矩阵经合同变换,正负惯性系数不变.
- 正定:二次型值永远为正
- 负定:二次型值永远为负
- 半正定:二次型值大于等于零
- 半负定:二次型值小于等于零
- 不定:不确定正负
赫尔维资定理:k阶顺序主子式全为正则正,奇数阶为负偶数阶为正则负定.