矩阵

• 三种关系
  • 相似:特征值相同
  • 合同:矩阵政府惯性系数相同 合同判断条件
  • 等价:矩阵秩相等

形如 是一种数表，可以用来表示都是实数则为实矩阵，有复数则称复矩阵，行列数相同的则为同型矩阵.
运算方式包括:

• 矩阵加减
• 矩阵相乘（左横乘右竖）
  • 结合律
• 矩阵数乘
  • 作为数乘的扩展
• 初等变换（同矩阵乘法）
  • 行交换
  • 列交换
  • 行倍乘
  • 列倍乘
  • 行相加
  • 列相加

特殊的矩阵形式包括

• 方阵
• 对角阵
• 单位矩阵
• 列矩阵行矩阵
• 上三角下三角阵
  秩:矩阵中最高阶非零子式的阶数确定矩阵的秩，则称为满秩矩阵, 否则为降秩矩阵.
  求法:通过有限次矩阵矩阵的初等变换前后矩阵的秩不变,即等价.

代数余子式

矩阵分块

可以把矩阵内部分块,使矩阵成为”元素是矩阵的矩阵”,必须要是分块方式相同的矩阵才能进行运算.运算过程中倾向于把矩阵分块成对角阵或者行矩阵列矩阵.

矩阵和线性变换

可将行列式乘法看线性变换方式的复合.
或多元多次方程中的A即为到的线性变换系数矩阵

线性方程组

方程可表示为的形式,用增广矩阵可表示为.用初等变换的方式将转化为其中c为列矩阵,每一行元素对应一个解.

方阵行列式

记作,行列式的值等于矩阵中的列或行向量张成的面积.
一些性质

逆矩阵

则称A和B互为逆矩阵(非奇异)

一个矩阵的逆矩阵是唯一的
矩阵可逆判断:

1. 行列式值不为零
2. 满秩
3. 存在逆矩阵

对角阵的逆矩阵为对角线上每个元素取倒数

一些性质:

1. 都可逆,则

伴随矩阵

在的前提下
用代数余子式排列如下

$$A^\*=\begin{pmatrix} A\_{11} && A\_{21} && A\_{31} && \cdots && A\_{n1} \\ A\_{12} && A\_{22} && A\_{32} && \cdots && A\_{n2} \\ A\_{13} && A\_{21} && A\_{33} && \cdots && A\_{n3} \\ \vdots && \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ A\_{1n} && A\_{2n} && A\_{3n} && \cdots && A\_{nn} \\ \end{pmatrix}$$

可求得 $AA^=|A|EA^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$ 以此求逆矩阵

向量，方程组的解

列向量,行向量,支持加减、数乘

向量组

线性组合

由一个向量组的每n项的倍的和为线性组合

1. 则称成比例
2. 零向量是任意向量组的线性组合
3. 向量组中的没一个元素都可以用向量组线性组合表示

有解则 可被 线性表示,且表示方法就是方程解.

若两个向量可以相互线性表示对方的每一个向量,则这两个向量等价.

线性相关

若向量组可以用一组不全为零的数线性表示零向量,则称向量组线性相关(是否在同一空间当中)

$$k\_1a\_1+k\_2a\_2+\cdots+k\_na\_n=\mathbf{0}$$

1. 只含一个元素时,其为零则线性相关
2. 只含两个元素时,成比例则线性相关
3. 含有零向量时一定线性相关
4. n个n维的单位向量组不相关

求线性相关即求解方程

向量组的秩

向量组中最大线性无关组的元素个数(求其矩阵的秩)
向量组能由表示,

向量空间

由向量组作为坐标系能表示一个空间,也称对线性运算是封闭的,最大线性无关组个数即为空间的维数
若存在两个空间下的向量组,两个坐标转换则称为过渡矩阵,当两个分 别被和坐标以相同方式()进行转换时称为坐标转换

向量内积

内积(即为两向量的点乘.)
其中为向量的长度
为两向量的夹角

正交基

坐标系中直角坐标系.如 则称 互为正交向量.
如果向量组中每个向量都是单位向量则称他们规范正交向量.

施密特正交化法

正交化(用随机向量表示垂直向量)

$$\alpha\_1,\alpha\_2,\cdots \\ \beta\_1=\alpha\_1 \\ \beta\_2=\alpha\_2-\frac{\[\alpha\_2,\beta\_1]}{\[\beta\_1,\beta\_1]}\beta\_1 \\ \beta\_3=\alpha\_3-\frac{\[\alpha\_3,\beta\_1]}{\[\beta\_1,\beta\_1]}\beta\_1-\frac{\[\alpha\_3,\beta\_2]}{\[\beta\_2,\beta\_2]}\beta\_2\\ \cdots$$

于是得到一组正交基

单位化,即每一项除以其长度.

正交矩阵

,即,充要条件为列向量都是单位向量

1. 都是正交矩阵
2. 两正交矩阵相乘仍然是正交矩阵
3. 或

线性方程组解

齐次

,设秩为r,自由变量的个数则为n-r,则解系中最大线性无关组的个数为n-r.为

非齐次

,先求的解(通解),再求特解,即为自由变量全为零时的解,相加即为方程组解.

特征值，对角化

特征向量:在线性变换中坐标系中方向没有改变的向量
其中x为特征,为特征值
其中x

计算高次幂

$$A=P\Lambda P^{-1} \\ A^n=(P\Lambda P^{-1})^n \\ A^n=P \Lambda^n P^{-1}$$

方阵相似对角化

原方阵若与对角阵相似则称方阵可以相似对角化
可通过原方阵乘由相似向量为列向量组成的矩阵来转换$P^{-1}AP=\Lambda $

实对称，二次型

实对称

Q用原特征向量的正交单位化矩阵

1. 不同特征值对应的特征向量必正交
2. 可对角化

二次型

标准形:对角阵
规范形:对角仅有正负1

正惯性系数:初等变换为对角阵后对角上正负数
用矩阵表示二元二次多项式(用类似空间中的坐标的方式,表示为实对称矩阵),对二次型做的变换是合同变换()
当时为正交矩阵

1. 可以用正交化的特征向量矩阵作为从而计算标准二次型.
2. 配方法
3. 初等变换

正定二次型

惯性定理:实对称矩阵经合同变换,正负惯性系数不变.

• 正定:二次型值永远为正
• 负定:二次型值永远为负
• 半正定:二次型值大于等于零
• 半负定:二次型值小于等于零
• 不定:不确定正负

赫尔维资定理:k阶顺序主子式全为正则正,奇数阶为负偶数阶为正则负定.